Limites_B1_Cálculo_Diferencial

 

Mi nombre es Hector David Pelaez Ordoñez nacido el 7 de enero de 2003 residente del municipio de Fonseca la guajira-Colombia, tengo 17 años de edad soy estudiante de primer semestre del programa de mecánica de la facultad de ingeniería de la universidad de la guajira.

Toda mi vida me he caracterizado como un chico alegre, gentil, soy un joven de pocas palabras y que siempre busca la manera de estar bien tanto con los que me rodean como conmigo mismo.

Vídeo de presentación

https://youtu.be/mXKDXfcd6N0 

Introducción a limites

 En este trabajo de investigación, se explorará una variedad de fuentes de consultoría reconocidas por una de varias incógnitas relacionadas con la matemática superior y la ingeniería mecánica, es decir, los límites matemáticos. Teniendo en cuenta su aplicación en la resolución de problemas en el área de la ingeniería, así como su desempeño como ingeniero en el tema de investigación, muestra claramente que ilimitadas aplicaciones pueden ejercer sus límites en la ingeniería mecánica. 

 

 

Objetivos específicos.

• Plantear y reforzar conocimientos previos vistos en las clases sincrónicas.

• Presentar a la audiencia toda la aplicación de limites en la vida diaria y en la ingeniería mecánica.

•  Obtener conocimientos superiores al explorar todos los tipos de limites existentes.

 

Articulo.

 

 Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo. Empezamos con la función 

$f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD f$

Se grafica la función f. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de una recta que empieza en (0, 2), se mueve hacia arriba, pasa a través de (2, 4) y (4, 6) y termina en (7,9).web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206

El límite de $f$f en $x=3$x, equals, 3 es el valor al cual se aproxima $f$f a medida que nos acercamos más y más a $x=3$x, equals, 3. Gráficamente, es el valor de $y$y al que tendemos en la gráfica de $f$f al acercarnos más y más al punto de la gráfica donde $x=3$x, equals, 3.

Por ejemplo, si partimos del punto $(1,3)$left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis y nos movemos en la gráfica hasta estar muy cerca de $x=3$x, equals, 3, entonces nuestro valor $y$y (es decir, el valor de la función) está muy cerca de $5$5.

La gráfica de la función f está animada. Un punto se mueve hacia arriba sobre la recta desde (1, 3) hasta (2.99, 4.99).

Creado con Geogebra.

Similarmente, si empezamos en $(5,7)$left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis y nos movemos a la izquierda hasta estar muy cerca de $x=3$x, equals, 3, el valor $y$y nuevamente estará muy cerca de $5$5.

La gráfica de la función f está animada. Un punto se mueve hacia abajo sobre la recta desde (5, 7) hasta (3.01, 5.01).

Creado con Geogebra.

Por estas razones, decimos que el límite de $f$f en $x=3$x, equals, 3 es $5$5.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD f$

La gráfica de la función f tiene flechas que apuntan a lo largo de la recta, hacia arriba y a la derecha y hacia abajo y a la izquierda, respectivamente, en dirección del punto (3, 5).

Tal vez te preguntes cuál es la diferencia entre el límite de $f$f en $x=3$x, equals, 3 y el valor de $f$f en $x=3$x, equals, 3, es decir, $f(3)$f, left parenthesis, 3, right parenthesis.

Y sí, el límite de $f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 en $x=3$x, equals, 3 es igual a $f(3)$f, left parenthesis, 3, right parenthesis, pero este no siempre es el caso. Para entender esto, consideremos la función $g$g. Esta función es igual a $f$f, excepto que no está definida para $x=3$x, equals, 3.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD g$

Se grafica la función g. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de una recta que empieza en (0, 2), se mueve hacia arriba, pasa a través de (2, 4) y de un círculo abierto en (3, 5) y termina en (7, 9).

[¿Qué clase de función es g?]

Tal como con $f$f, el límite de $g$g en $x=3$x, equals, 3 es $5$5. Esto se debe a que aún podemos acercarnos mucho a $x=3$x, equals, 3 y los valores de la función se acercarán muchísimo a $5$5.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD g$

La gráfica de la función g tiene flechas que apuntan a lo largo de la recta, hacia arriba y a la derecha y hacia abajo y a la izquierda, respectivamente, en dirección del círculo abierto en (3, 5).

Así que el límite de $g$g en $x=3$x, equals, 3 es igual a $5$5, ¡pero el valor de $g$g en $x=3$x, equals, 3 no está definido! ¡No son lo mismo!

Esa es la belleza de los límites: no dependen del valor real de la función en el límite. Describen cómo se comporta la función al acercarse al límite.

PROBLEMA 1

Esta es la gráfica de $h$h.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$y$$x$$\blueD h$

¿Cuál es una estimación razonable para el límite de $h$h en $x=3$x, equals, 3?

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• $2$2
• $3$3
• $4$4
• El límite no existe

Tenemos también una notación especial para hablar de límites. Así es como escribimos el límite de $f$f cuando $x$x se acerca (o tiende a) $3$3:

$\begin{aligned} \scriptsize\text{"El límite de..."}&\qquad\scriptsize\text{"...la función }f\text{..."} \\ \searrow\qquad&\qquad\swarrow \\ \LARGE\displaystyle\lim_{x\to 3}&\LARGE f(x) \\ \nearrow\qquad \\ \scriptsize\text{"...cuando }x\text{ tiende a }3\text{."} \end{aligned}$

El símbolo $\displaystyle\lim$limit significa que tomamos el límite de algo.

La expresión a la derecha de $\displaystyle\lim$limit es la expresión de la cual tomamos el límite. En nuestro caso, se trata de la función $f$f.

La expresión $x\to 3$x, \to, 3 que aparece debajo de $\displaystyle\lim$limit significa que tomamos el límite de $f$f a medida que los valores de $x$x se acercan a $3$3.

PROBLEMA 2

Esta es la gráfica de $f$f.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$y$$x$$\blueD f$

¿Cuál es una estimación razonable para $\displaystyle\lim_{x\to 6}f(x)$limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis?

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• $-5$minus, 5
• $-3$minus, 3
• $6$6
• El límite no existe

PROBLEMA 3

¿Cuál expresión representa el límite de $x^2$x, squared cuando $x$x tiende a $5$5?

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• $\displaystyle\lim 5^2$limit, 5, squared
• $\displaystyle\lim_{x^2\to 5}$limit, start subscript, x, squared, \to, 5, end subscript
• $\displaystyle\lim_{x\to 5}x^2$limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, x, squared
• $\displaystyle\lim_{x\to 25}x$limit, start subscript, x, \to, 25, end subscript, x

En los límites, queremos estar infinitamente cerca.

¿Qué queremos decir con "infinitamente cerca"? Examinemos los valores de $f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 a medida que los valores de $x$x se acercan mucho a $3$3. (Recuerda que al hablar de límites no nos interesa $f(3)$f, left parenthesis, 3, right parenthesis en sí).

$x$x	$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis
$2.9$2, point, 9	$4.9$4, point, 9
$2.99$2, point, 99	$4.99$4, point, 99
$\gray{\underbrace{\color{black}{2.999}}_{\text{cerca de }3}}$start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{4.999}}_{\text{cerca de }5}}$start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray

Podemos ver que cuando los valores de $x$x son menores que $3$3, pero se acercan más y más, los valores de $f$f se acercan más y más a $5$5.

$x$x	$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis
$3.1$3, point, 1	$5.1$5, point, 1
$3.01$3, point, 01	$5.01$5, point, 01
$\gray{\underbrace{\color{black}{3.001}}_{\text{cerca de }3}}$start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{5.001}}_{\text{cerca de }5}}$start color gray, start underbrace, start color black, 5, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray

También vemos que cuando los valores de $x$x son mayores que $3$3, pero se acercan más y más, los valores de $f$f se acercan más y más a $5$5.

Observa que con lo que más nos acercamos a $5$5 es con $f(2.999)=4.999$f, left parenthesis, 2, point, 999, right parenthesis, equals, 4, point, 999 y $f(3.001)=5.001$f, left parenthesis, 3, point, 001, right parenthesis, equals, 5, point, 001, que están a $0.001$0, point, 001 unidades de distancia de $5$5.

Podemos acercarnos más, si así lo deseamos. Por ejemplo, supongamos que queremos estar a $0.00001$0, point, 00001 unidades de $5$5; entonces podemos escoger $x=3.00001$x, equals, 3, point, 00001 y en ese caso $f(3.00001)=5.00001$f, left parenthesis, 3, point, 00001, right parenthesis, equals, 5, point, 00001.

Esto no tiene fin. Siempre podemos acercarnos más a $5$5. Pero ¡de eso se trata "infinitamente cerca"! Como "infinitamente cerca" no es posible en la realidad, lo que queremos decir con $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=5$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 es que no importa cuánto queramos acercarnos a $5$5, existe un valor de $x$x muy cercano a $3$3 que nos llevará ahí.

Si esto te parece difícil de captar, quizá esto te ayude: ¿cómo sabemos que hay un número infinito de números enteros diferentes? No es como si los contáramos todos y llegáramos a infinito. Sabemos que son infinitos porque para cada número entero hay uno que es aún mayor que ese. Siempre hay otro, y otro más.

En límites no queremos llegar a "infinitamente grande", sino ir "infinitamente cerca". Cuando escribimos $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=5$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, queremos decir que siempre podemos estar más y más cerca de $5$5.

PROBLEMA 4

$x$x	$g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis
$-7.1$minus, 7, point, 1	$6.32$6, point, 32
$-7.01$minus, 7, point, 01	$6.1$6, point, 1
$-7.001$minus, 7, point, 001	$6.03$6, point, 03
$-6.999$minus, 6, point, 999	$6.03$6, point, 03
$-6.99$minus, 6, point, 99	$6.1$6, point, 1
$-6.9$minus, 6, point, 9	$6.32$6, point, 32

¿Cuál es una estimación razonable para $\displaystyle \lim_{x\to -7}g(x)$limit, start subscript, x, \to, minus, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• $-7$minus, 7
• $6$6
• $6.15$6, point, 15
• $6.33$6, point, 33
• El límite no existe

Otro ejemplo: $\displaystyle\lim_{x\to 2}x^2$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared

Analizemos $\displaystyle\lim_{x\to 2}x^2$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, que es el límite de la expresión $x^2$x, squared cuando $x$x se acerca a $2$2.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD{y=x^2}$

Se grafica la función y = x cuadrada. El eje x va de menos 4 a 6. La gráfica consta de una curva. La curva es una parábola que empieza en (menos 3, 9), se mueve hacia abajo, pasa por (menos 1, 1) y por (0, 0), se mueve hacia arriba, pasa por (1, 1) y termina en (3, 9).

Podemos ver en la gráfica que cuando nos acercamos al punto donde $x=2$x, equals, 2, los valores de $y$y están más y más cerca de $4$4.

La gráfica de y = x cuadrada está animada con un punto que se mueve hacia arriba sobre la curva desde (1.5, 2.25) hasta (1.99, 3.96) y después se mueve hacia abajo sobre la curva desde (2.5, 6.25) hasta (2.01, 4.04).

Creado con Geogebra.

También podemos observar esta tabla de valores:

$x$x	$x^2$x, squared
$1.9$1, point, 9	$3.61$3, point, 61
$1.99$1, point, 99	$3.9601$3, point, 9601
$\gray{\underbrace{\color{black}{1.999}}_{\text{cerca de }2}}$start color gray, start underbrace, start color black, 1, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{3.996001}}_{\text{cerca de }4}}$start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray

$x$x	$x^2$x, squared
$2.1$2, point, 1	$4.41$4, point, 41
$2.01$2, point, 01	$4.0401$4, point, 0401
$\gray{\underbrace{\color{black}{2.001}}_{\text{cerca de }2}}$start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{4.004001}}_{\text{cerca de }4}}$start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray

También podemos ver cómo nos podemos acercar a $4$4 tanto como queramos. Supongamos que queremos estar a menos de $0.001$0, point, 001 unidades de $4$4. ¿Cuál valor de $x$x cercano a $x=2$x, equals, 2 podemos escoger?

Intentemos $x=2.001$x, equals, 2, point, 001:

$2.001^2=4.004001$2, point, 001, squared, equals, 4, point, 004001

Este valor está a más de $0.001$0, point, 001 unidades de $4$4. Bueno, intentemos $x=2.0001$x, equals, 2, point, 0001:

$2.0001^2=4.00040001$2, point, 0001, squared, equals, 4, point, 00040001

¡Este valor ya está suficientemente cerca! Al intentar valores de $x$x que están más y más cerca de $x=2$x, equals, 2, podemos acercarnos aún más a $4$4.

En conclusión, $\displaystyle\lim_{x\to 2}x^2=4$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.

Un límite debe ser el mismo desde ambos lados.

Si regresamos a $f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 y $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos ver cómo se aproxima a $5$5, ya sea que los valores de $x$x crezcan hacia $3$3 (lo que se llama "acercarse por la izquierda"), o bien decrezcan hacia $3$3 (lo que se llama "acercarse por la derecha").

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD f$se acerca por la izquierdase acerca por la derecha

Se grafica la función f. El eje x va de 0 a 9. La gráfica es una recta que empieza en (0, 2) y se mueve hacia arriba, pasa a través de (2,4) y de (4, 6). Una flecha que apunta hacia arriba sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la izquierda. Una flecha que apunta hacia abajo sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la derecha.

Ahora considera, por ejemplo, la función $h$h. El valor de $y$y al que nos acercamos, cuando los valores de $x$x tienden a $x=3$x, equals, 3, depende de si hacemos esto desde la izquierda o desde la derecha.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD h$

Se grafica la función h. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de 2 rectas. La primera recta empieza en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina en un círculo abierto en (3, 4). La segunda recta empieza en un círculo cerrado en (3, 6), se mueve hacia arriba y termina en (6, 9).

Cuando nos acercamos a $x=3$x, equals, 3 por la izquierda, la función tiende a $4$4. Al acercarnos a $x=3$x, equals, 3 por la derecha, la función tiende a $6$6.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD h$se acerca por la izquierdase acerca por la derecha

La gráfica de la función h tiene una flecha, que representa acercarse por la izquierda, apunta hacia arriba y a la derecha a lo largo de la primera recta en dirección del círculo abierto en (3, 4). Otra flecha, que representa acercarse por la derecha, apunta hacia abajo y a la izquierda a lo largo de la segunda recta en dirección del círculo cerrado en (3, 6).

Cuando una función no se aproxima al mismo valor por ambos lados, decimos que el límite no existe.

PROBLEMA 5

Esta es la gráfica de la función $g$g.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$y$$x$$\blueD g$

¿Cuáles de estos límites existen?

Elige todas las respuestas adecuadas:

Elige todas las respuestas adecuadas:

• $\displaystyle\lim_{x\to 3}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
• $\displaystyle\lim_{x\to 5}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
• $\displaystyle\lim_{x\to 6}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
• $\displaystyle\lim_{x\to 7}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis

Estimar limites a partir de graficas. 

Hay una diferencia importante entre el valor al que se aproxima una función, que llamamos límite, y el valor de la función en sí. Las gráficas son una buena herramienta para comprender esta diferencia.

Se grafica y se anima una función. El eje x va de 0 a 3. La gráfica es una curva que empieza en (0, 0.5), se mueve hacia abajo pasando por un círculo abierto aproximadamente en (2, 0.25). Un puntero mueve un punto sobre la curva en dirección del círculo abierto desde la izquierda y la derecha. Los valores se acercan a 0.25. En el círculo abierto, las coordenadas se muestran como (2, undefined), o bien, (2, indefinido).

desmos.com para inspeccionar el $\displaystyle{\lim_{x \to 2}{\dfrac{x-2}{x^2-4}}}$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction

Observa cómo, al acercarnos más y más a x=2 tanto por la izquierda como por la derecha, parece que nos aproximamos a y=0.25.

En el ejemplo anterior, vemos que el valor de la función no está definido, pero el valor del límite es aproximadamente $0.25$0, point, 25.

Recuerda que estamos tratando con una aproximación, no con un valor exacto. Podemos acercarnos más para obtener una mejor aproximación si queremos.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ponen de relieve casos interesantes del uso de gráficas para aproximar límites. En algunos de ellos, el valor del límite y el valor de la función son iguales, y en otros no.

A veces el valor del límite es igual al valor de la función.

PROBLEMA 1

¿Cuál es una estimación razonable para $\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$y$$x$$\blueD g$

Se grafica la función g. El eje x va de menos 8 a 8. La gráfica consta de 1 curva. La curva empieza aproximadamente en (menos 7, menos 8) y se mueve hacia arriba pasando por un punto en x = 1 entre y = menos 1 y y = menos 2, más cerca de y = menos 1. La curva termina en el cuadrante 1.

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• $-1.9$minus, 1, point, 9
• $-1.4$minus, 1, point, 4
• $1$1
• El límite no existe.

Pero, a veces, el valor del límite no es igual el valor de la función.

Cuando tratas con una función definida por partes, es posible obtener una gráfica como la siguiente.

PROBLEMA 2

¿Cuál es una estimación razonable para $\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$y$$x$$\blueD g$

Se grafica la función g. El eje x va de menos 8 a 8. La gráfica consta de una curva y de un círculo cerrado. La curva empieza aproximadamente en (menos 8, 6), se mueve hacia abajo aproximadamente a (menos 3, 3.5) y se mueve hacia arriba pasando por un círculo abierto en x = 1, justo arriba de y = 4. La curva termina en el cuadrante 1. Un círculo cerrado está graficado en x = 1, justo abajo de y = 2.

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• $1$1
• $1.7$1, point, 7
• $4.2$4, point, 2
• $5.1$5, point, 1
• El límite no existe.

Punto importante: es posible que el valor de la función sea diferente del valor del límite.

Y aún cuando una función no esté definida para algún valor de $x$x, no significa que no exista el límite.

Los huecos en las gráficas ocurren con funciones racionales, que no están definidas cuando sus denominadores son cero. He aquí un ejemplo clásico:

$\small{1}$$\small{2}$$\small{\llap{-}1}$$\small{\llap{-}2}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{\llap{-}1}$$y$$x$

Se grafica una función. El eje x va de menos 3 a 3. La gráfica es una curva en forma de U que empieza aproximadamente en (menos 2.5, 4), se mueve hacia abajo a un círculo abierto en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina aproximadamente en (2.5, 4).

Esta es la gráfica de y = x / sin(x). Observa que hay un hueco en x = 0, pues la función no está definida en ese punto.

En este ejemplo, el límite parece ser $1$1 porque a eso parecen acercarse los valores de $y$y cuando nuestros valores de $x$x tienden más y más a $0$0. No importa que la función no esté definida en $x=0$x, equals, 0, el límite sí existe.

Aquí hay problema para que practiques:

PROBLEMA 3

¿Cuál es una estimación razonable para $\displaystyle\lim_{x\to -4}f(x)$limit, start subscript, x, \to, minus, 4, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis?

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$y$$x$$\blueD f$

Se grafica la función f. El eje x va de menos 8 a 8. La gráfica consta de una curva. La curva empieza en el cuadrante 2 y se mueve hacia abajo pasando por un círculo abierto en x = menos 4, justo arriba de la línea de cuadrícula de y = 3. La curva termina en el cuadrante 4.

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• $-4$minus, 4
• $3.3$3, point, 3
• $3.8$3, point, 8
• $4$4
• El límite no existe.

Reforzar la idea clave: el valor de la función en $x=-4$x, equals, minus, 4 es irrelevante para encontrar el límite. Lo único que importa es averiguar a dónde tienden los valores de $y$y conforme nos acercamos más y más a $x=-4$x, equals, minus, 4.

Por otro lado, cuando la función está definida para un valor de $x$x, eso no quiere decir que el límite necesariamente existe.

Tal como en un ejemplo previo, esta gráfica muestra la clase de cosas que pueden ocurrir al trabajar con funciones definidas por partes. Observa que no nos acercamos al mismo valor de $y$y desde ambos lados de $x=3$x, equals, 3.

PROBLEMA 4

¿Cuál es una estimación razonable para $\displaystyle\lim_{x\to 3}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{\llap{-}4}$$\small{\llap{-}5}$$\small{\llap{-}6}$$\small{\llap{-}7}$$y$$x$$\blueD g$

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• $-3$minus, 3
• $1$1
• $4$4
• El límite no existe

Las calculadoras gráficas son ahora muy sofisticadas.

Las calculadoras que grafican, como Desmos, pueden darte una buena idea de lo que le ocurre a los valores de $y$y a medida que te acercas más y más a un cierto valor de $x$x. Intenta usar una de esas calculadoras para estimar estos límites:

$\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\dfrac{x}{\sin(x)}}} \\\\ &\displaystyle{\lim_{x \to 3}{\dfrac{x-3}{x^2-9}}} \end{aligned}$​

En ambos casos, la función no está definida en el valor de $x$x al cual nos acercamos, pero el límite existe y podemos estimarlo.

Estimar limites a partir de tablas.

Los límites son una herramienta para razonar acerca del comportamiento de funciones, y las tablas son una herramienta para razonar acerca de límites. Una cosa buena con las tablas es que podemos obtener estimaciones más precisas de límites que al mirar las gráficas.

Al usar una tabla para aproximar límites, es importante crearla de manera que simule el efecto de estar "infinitamente cerca" del valor deseado de $x$x.

Ejemplo

Imaginemos que nos piden aproximar este límite:

$\displaystyle{\lim_{x \to 2}{\dfrac{x-2}{x^2-4}}}$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction

Nota: la función de hecho no está definida en $x=2$x, equals, 2, pues el denominador vale cero, pero el límite cuando $x$x se acerca a $2$2 sí existe.

Paso 1: queremos escoger un valor que sea un poco menor que $x=2$x, equals, 2 (es decir, un valor "a la izquierda" de $2$2, si pensamos en el eje $x$x estándar), así que podemos empezar con algo como $x=1.9$x, equals, 1, point, 9.

$x$x	$1.9$1, point, 9	$2$2
$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$0.2564$0, point, 2564	indefinida

Paso 2: intenta algunos otros valores de $x$x, para simular la idea de estar infinitamente cerca de $x=2$x, equals, 2 desde la izquierda.

$x$x	$1.9$1, point, 9	$1.99$1, point, 99	$1.9999$1, point, 9999	$2$2
$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$0.2564$0, point, 2564	$0.2506$0, point, 2506	$0.25001$0, point, 25001	indefinida

Observa cómo nuestros valores de $x$x $\{1.9, 1.99, 1.9999\}$left brace, 1, point, 9, comma, 1, point, 99, comma, 1, point, 9999, right brace realmente se "enfocan" alrededor de $x=2$x, equals, 2. Una elección más mala para los valores de $x$x hubiera sido con incrementos constantes, como $\{-1,0,1\}$left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace, que no son muy útiles para pensar en estar infinitamente cerca de $x=2$x, equals, 2.

Paso 3: acercarse a $x=2$x, equals, 2 desde la derecha, tal como hicimos desde la izquierda. Queremos hacer esto de manera que simule la idea de estar infinitamente cerca de $x=2$x, equals, 2.

$x$x	$1.9$1, point, 9	$1.99$1, point, 99	$1.9999$1, point, 9999	$2.0001$2, point, 0001	$2.01$2, point, 01	$2.1$2, point, 1
$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$0.2564$0, point, 2564	$0.2506$0, point, 2506	$0.25001$0, point, 25001	$0.24999$0, point, 24999	$0.2494$0, point, 2494	$0.2439$0, point, 2439

(Nota: hemos eliminado $x=2$x, equals, 2 de la tabla para ahorrar espacio, y también porque no es necesario para razonar acerca del valor del límite).

Si observamos la tabla que hemos creado, tenemos una evidencia muy fuerte de que el límite es $0.25$0, point, 25. Pero, si somos honestos, debemos admitir que se trata solamente de una aproximación razonable. No podemos decir con certeza que este es el valor real del límite.

PROBLEMA 1

A tres estudiantes se les dio la función $f$f y se les pidió estimar $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis. Cada estudiante creó una tabla (se muestran a continuación).

Cada tabla es correcta, pero ¿cuál es la mejor para aproximar el límite?

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• A	$x$x	$-1$minus, 1	$0$0	$1$1	$2$2	$3$3	$4$4
  	$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$0.2$0, point, 2	$1.3$1, point, 3	$2.9$2, point, 9	$3.25$3, point, 25	$2.9$2, point, 9	$1.3$1, point, 3

• B	$x$x	$1.9$1, point, 9	$1.99$1, point, 99	$1.999$1, point, 999	$2.001$2, point, 001	$2.01$2, point, 01	$2.1$2, point, 1
  	$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$3.32$3, point, 32	$3.264$3, point, 264	$3.251$3, point, 251	$3.249$3, point, 249	$3.242$3, point, 242	$3.31$3, point, 31

• C	$x$x	$2.001$2, point, 001	$2.01$2, point, 01	$2.1$2, point, 1	$2.25$2, point, 25	$2.5$2, point, 5	$3$3
  	$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$3.249$3, point, 249	$3.242$3, point, 242	$3.31$3, point, 31	$3.2$3, point, 2	$3.05$3, point, 05	$2.9$2, point, 9

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Errores comunes al crear tablas para estimar límites

He aquí varias cosas a cuidar cuando creas tus propias tablas para aproximar límites:

Suponer que el valor de la función es el límite. El ejemplo anterior destaca un caso en el que la función no está definida y el límite sí existe. Evita sacar conclusiones acerca del valor del límite basándote en el valor de la función.

No estar infinitamente cerca. Estar infinitamente cerca significa que tratamos de acercarnos tanto al valor deseado de $x$x que hay muy poco espacio entre donde estamos y ese valor; tan cerca, que podamos convencernos que la estimación que tenemos es casi seguramente el valor del límite.

Evita seleccionar valores de $x$x en incrementos constantes, como $\{-1,0,1\}$left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace, o aún $\{1.91, 1.92, 1.93\}$left brace, 1, point, 91, comma, 1, point, 92, comma, 1, point, 93, right brace, pues esos valores no nos llevan infinitamente cerca, solo más o menos cerca. Para estar infinitamente cerca, queremos ir reduciendo nuestros incrementos, con valores de $x$x como $\{1.9, 1.99, 1.999\}$left brace, 1, point, 9, comma, 1, point, 99, comma, 1, point, 999, right brace, de manera que vamos reduciendo el espacio entre donde estamos y donde queremos estar.

No acercarse desde ambos lados. Recuerda acercarte al valor deseado de $x$x desde la izquierda y la derecha. Recuerda que, para que el límite exista, los límites desde la izquierda y la derecha deben ser iguales. Evita sacar conclusiones acerca del valor del límite después de acercarte al valor deseado de $x$x solamente desde un lado.

Suponer que "lado izquierdo" significa "negativo". Algunos estudiantes creen erróneamente que para acercarse por la izquierda deben usar números negativos. En el ejemplo anterior, nos acercamos a $x=2$x, equals, 2 desde la izquierda por medio de números que eran ligeramente menores que $2$2, tales como $1.9$1, point, 9 y $1.99$1, point, 99. No supongas que requieres valores negativos de $x$x al acercarte desde la izquierda.

PROBLEMA 2

La función $g$g está definida en todos los números reales. Esta tabla muestra algunos valores selectos de $g$g.

$x$x	$g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis
$4$4	$3.37$3, point, 37
$4.9$4, point, 9	$3.5$3, point, 5
$4.99$4, point, 99	$3.66$3, point, 66
$4.999$4, point, 999	$3.68$3, point, 68
$5$5	$6.37$6, point, 37
$5.001$5, point, 001	$3.68$3, point, 68
$5.01$5, point, 01	$3.7$3, point, 7
$5.1$5, point, 1	$3.84$3, point, 84
$6$6	$3.97$3, point, 97

¿Cuál es una estimación razonable para $\displaystyle \lim_{x\to 5}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• $3.68$3, point, 68
• $4$4
• $5$5
• $6.37$6, point, 37
• El límite no existe

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Errores comunes al estimar límites a partir de tablas

Confundir el valor del límite con el valor de la función. Recuerda que el límite de una función en cierto punto no es necesariamente igual al valor de la función en ese punto. Por ejemplo, en el problema 2, $g(5)=6.37$g, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 6, point, 37, pero $\displaystyle\lim_{x\to 5}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis es aproximadamente $3.68$3, point, 68.

Pensar que el valor del límite es siempre un entero. Algunos límites son "agradables" y tienen valores enteros o fraccionales. Por ejemplo, el límite en nuestro primer ejemplo fue $0.25$0, point, 25. Algunos límites no son tan agradables, como por ejemplo el límite en el problema 2, que está en algún valor cercano a $3.68$3, point, 68.

Sustitución directa.

    

    

$\lim \frac{2x+1}{-3x+3}=$limit, start subscript, x, \to, 4, end subscript, start fraction, 2, x, plus, 1, divided by, minus, 3, x, plus, 3, end fraction, equals 

Pista #1

$\dfrac{2x+1}{-3x+3}$start fraction, 2, x, plus, 1, divided by, minus, 3, x, plus, 3, end fraction define una función racional.

Las funciones racionales son continuas en todo su dominio, y su dominio es el conjunto de todos los valores reales $x$x que no hacen que el denominador sea igual a cero.

En otras palabras, para cualquier función racional $r$r y cualquier valor de entrada $c$c en el dominio de $r$r, sabemos que la siguiente igualdad es verdadera:

$\displaystyle\lim_{x\to c}r(x)=r(c)$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, r, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, r, left parenthesis, c, right parenthesis

El valor de entrada $x=4$x, equals, 4 está en el dominio de $\dfrac{2x+1}{-3x+3}$start fraction, 2, x, plus, 1, divided by, minus, 3, x, plus, 3, end fraction.

Por lo tanto, para encontrar $\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{-3x+3}$limit, start subscript, x, \to, 4, end subscript, start fraction, 2, x, plus, 1, divided by, minus, 3, x, plus, 3, end fraction, podemos simplemente evaluar $\dfrac{2x+1}{-3x+3}$start fraction, 2, x, plus, 1, divided by, minus, 3, x, plus, 3, end fraction en $x=4$x, equals, 4.

Pista #2

$\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2x+1}{-3x+3} \\\\ &=\dfrac{2(4)+1}{-3(4)+3}\qquad\gray{\text{Sustituye }x=4.} \\\\ &=\dfrac{9}{-9} \\\\ &=-1 \end{aligned}$

Pista #3

En conclusión, $\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{-3x+3}=-1$limit, start subscript, x, \to, 4, end subscript, start fraction, 2, x, plus, 1, divided by, minus, 3, x, plus, 3, end fraction, equals, minus, 1.

Factorización.

$\lim \frac{x^3-9x}{x^2-3x}=$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, start fraction, x, cubed, minus, 9, x, divided by, x, squared, minus, 3, x, end fraction, equals 

Pista #1

Sustituir $x=3$x, equals, 3 en $\dfrac{x^3-9x}{x^2-3x}$start fraction, x, cubed, minus, 9, x, divided by, x, squared, minus, 3, x, end fraction nos lleva a la forma indeterminada $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. Esto no necesariamente significa que el límite no existe, pero sí que debemos trabajar un poco más antes de encontrarlo.

Ya que tenemos en nuestras manos una expresión racional, tratemos de simplificarla.

Pista #2

$\dfrac{x^3-9x}{x^2-3x}$start fraction, x, cubed, minus, 9, x, divided by, x, squared, minus, 3, x, end fraction puede simplificarse a $x+3$x, plus, 3 para $x\neq 0,3$x, does not equal, 0, comma, 3. 

Esto significa que las dos expresiones tienen el mismo valor para toda $x$x (en sus dominios) excepto en $0$0 y $3$3.

Ahora podemos usar el siguiente teorema:

Si $f(x)=g(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis para todos los valores de $x$x en un intervalo dado, excepto en $x=c$x, equals, c, entonces $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Pista #3

En nuestro caso, $\dfrac{x^3-9x}{x^2-3x}=x+3$start fraction, x, cubed, minus, 9, x, divided by, x, squared, minus, 3, x, end fraction, equals, x, plus, 3 para todos los valores de $x$x en el intervalo $(2,4)$left parenthesis, 2, comma, 4, right parenthesis excepto $x=3$x, equals, 3.

Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^3-9x}{x^2-3x}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$

racionalización.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{x-2}=$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, 3, minus, square root of, 5, x, minus, 1, end square root, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals 

Pista #1

Sustituir $x=2$x, equals, 2 en $\dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{x-2}$start fraction, 3, minus, square root of, 5, x, minus, 1, end square root, divided by, x, minus, 2, end fraction nos lleva a la forma indeterminada $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. Esto no necesariamente significa que el límite no existe, pero sí que debemos trabajar un poco más antes de encontrarlo.

Ya que tenemos en nuestras manos una expresión racional que involucra una raíz cuadrada, intentemos reescribirla por medio del método de racionalización.

Pista #2

$\begin{array}{rl}& =\frac{3-\sqrt{5x-1}}{x-2}\\ & =\frac{3-\sqrt{5x-1}}{x-2}\cdot \frac{3+\sqrt{5x-1}}{3+\sqrt{5x-1}}\text{Racionaliza el numerador.}\\ & \\ & =\frac{3^2-(5x-1)}{(x-2)(3+\sqrt{5x-1})}\\ & \\ & =\frac{-5\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(3+\sqrt{5x-1})}\text{Cancela los factores comunes.}\\ & \\ & =\frac{-5}{3+\sqrt{5x-1}}\text{, para }x\ne 2\end{array}$

Esto significa que las dos expresiones tienen el mismo valor para toda $x$x (en sus dominios), excepto en $2$2.

Ahora podemos usar el siguiente teorema:

Si $f(x)=g(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis para todos los valores de $x$x en un intervalo dado, excepto en $x=c$x, equals, c, entonces $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Pista #3

En nuestro caso, $\dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{x-2}=\dfrac{-5}{3+\sqrt{5x-1}}$start fraction, 3, minus, square root of, 5, x, minus, 1, end square root, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals, start fraction, minus, 5, divided by, 3, plus, square root of, 5, x, minus, 1, end square root, end fraction para todos los valores de $x$x en el intervalo $(1.5,2.5)$left parenthesis, 1, point, 5, comma, 2, point, 5, right parenthesis excepto $x=2$x, equals, 2.

Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{x-2}=\lim_{x\to 2}\dfrac{-5}{3+\sqrt{5x-1}}=-\dfrac{5}{6}$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, 3, minus, square root of, 5, x, minus, 1, end square root, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals, limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, minus, 5, divided by, 3, plus, square root of, 5, x, minus, 1, end square root, end fraction, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 6, end fraction.

(Encontramos el último límite por sustitución directa).

Pista #4

En conclusión, $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{3-\sqrt{5x-1}}{x-2}=-\dfrac{5}{6}$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, 3, minus, square root of, 5, x, minus, 1, end square root, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 6, end fraction.

funciones trigonométricas

Ejemplo sobre limites trigonométricos.

Sustituir $\theta=0$theta, equals, 0 en $\dfrac{1-\cos(\theta)}{2\sin^2(\theta)}$start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, divided by, 2, sine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction nos lleva a la forma indeterminada $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. Esto no necesariamente significa que el límite no existe, pero sí que tenemos que hacer un poco más de trabajo para encontrarlo.

Como nuestra expresión incluye funciones trigonométricas, intentemos reescribirla usando factorización e identidades trigonométricas.

Pista #2

Ya que $\sin^2(\theta)$sine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis está en nuestra expresión, reescribámosla usando la identidad pitagórica $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$sine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, cosine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, 1:

$\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{1-\cos(\theta)}{2\sin^2(\theta)} \\\\ &=\dfrac{1-\cos(\theta)}{2(1-\cos^2(\theta))}\qquad\gray{\text{Identidad pitagórica.}} \\\\ &=\dfrac{1-\cos(\theta)}{2(1+\cos(\theta))(1-\cos(\theta))}\qquad\gray{\text{Diferencia de cuadrados.}} \\\\ &=\dfrac{\cancel{1-\cos(\theta)}}{2(1+\cos(\theta))\cancel{(1-\cos(\theta))}}\qquad\gray{\text{Cancela factores comunes.}} \\\\ &=\dfrac{1}{2(1+\cos(\theta))}\text{, para }\theta\neq \{...,-4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...\} \end{aligned}$

Esto significa que las dos expresiones son iguales para todos los valores de $\theta$theta (en sus dominios) excepto en $2k\pi$2, k, pi para cualquier entero $k$k, y específicamente en $0$0.

Ahora podemos utilizar el siguiente teorema:

Si $f(x)=g(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis para todos los valores de $x$x en un intervalo excepto en $x=c$x, equals, c, entonces $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Pista #3

En nuestro caso, $\dfrac{1-\cos(\theta)}{2\sin^2(\theta)}=\dfrac{1}{2(1+\cos(\theta))}$start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, divided by, 2, sine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, left parenthesis, 1, plus, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis, end fraction para todos los valores de $\theta$theta en el intervalo $(-1,1)$left parenthesis, minus, 1, comma, 1, right parenthesis excepto en $\theta=0$theta, equals, 0.

Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1-\cos(\theta)}{2\sin^2(\theta)}=\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1}{2(1+\cos(\theta))}=\dfrac{1}{4}$limit, start subscript, theta, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, divided by, 2, sine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction, equals, limit, start subscript, theta, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, left parenthesis, 1, plus, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.

(Encontramos el último límite por medio de sustitución directa).

Pista #4

En conclusión, $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1-\cos(\theta)}{2\sin^2(\theta)}=\dfrac{1}{4}$limit, start subscript, theta, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, divided by, 2, sine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.

Hipervínculo: https://es.khanacademy.org/

Aplicación de limites en la ingeniería mecánica.

• fabricación de puentes eléctricos.

• Elaboración de motores pieza a pieza.

• Resistencia de motores. 

Mapa conceptual.

Conclusiones.

• En este trabajo, finalmente podemos resumir la importancia de los límites, la complejidad y la sencillez a la hora de aplicar estos. A través de este blog pudimos clarificar mi conocimiento y hacer mejoras en temas ya vistos, además, comenzamos a pensar más en el concepto clave de límites.

• En este Blogger pude aprender cómo estar infinitamente cerca de un límite, y los diferentes tipos de límites que podemos plantear que podemos usar para dichos problemas, siempre y cuando el límite tenga una solución; cabe aclarar que no siempre debe haber una definición  para que el limite exista.

• Pude abarcar todos los tipos de límites de los cuales tengo conocimiento, con la intención de aclarar ciertas dudas que haya dejado el tema ya visto y así desarrollar más en el campo de la ingeniera con esto de límites.

  
  

WEBGRAFIA

https://es.khanacademy.org/

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https://www.google.com/url?sa=i&url=http%3A%2F%2Fbibing.us.es%2Fproyectos%2Fabreproy%2F90742%2Ffichero%2FTFG%2BNoelia%2BCarrera.pdf&psig=AOvVaw18zYCe2KF3yeqqGfB9Y8uB&ust=1607102727943000&source=images&cd=vfe&ved=0CA0QjhxqFwoTCIDPucWqsu0CFQAAAAAdAAAAABAL

https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fslv.thehouseofchronic.com%2F4250889-where-an-electric-motor-is-used-are-examples-electric-motor-application&psig=AOvVaw31pJFvE8xGkgIOTu7_puec&ust=1607103403752000&source=images&cd=vfe&ved=0CA0QjhxqFwoTCNDyvfOssu0CFQAAAAAdAAAAABAI

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